里夏尔帮助伽罗瓦于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个定理的证明》，并说服伽罗瓦向科学院递送备忘录。
1829年，中学学年结束后，伽罗瓦刚满18岁，7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。
在报考巴黎综合技术学校时，在口试中，他巧妙的写出一组数列以回答考官关于“对数”这样的过于简单的问题，而主考的教授比内和勒费布雷?德?富尔西对伽罗瓦阐述的见解不理解，居然嘲笑他。伽罗瓦由于被狂笑声所激怒，气愤地把黑板擦布扔到了主考人头上，于是再次遭到落选，仍然是一个非正式的预备生，后来读了师范大学。
1829年，伽罗瓦在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。柯西却再次巧妙地将其遗失了，并且在计划的讨论会中对该论文只字不提。
1830年2月，伽罗瓦将他的群论研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，而在他的遗物中未能发现伽罗瓦的手稿。
就这样，伽罗瓦递交的两次数学论文都被遗失了。
第三次他的手稿由数学家柏松审查，但由于内容太过高深，柏松的评语是：完全不能理解。
而论文中，伽罗瓦通过改进数学大师拉格朗日的思想，既设法绕过了拉氏预解式，又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想（即把预解式的构成同置换群联系起来），并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了自己的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。
这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗瓦域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗瓦群。伽罗瓦域的子域和伽罗瓦群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群时，这方程是根式可解的。
伽罗瓦的悲剧在于，他比他同时代的人超前得太多，以致没人能理解他，甚至高斯，柯西和傅立叶都不能。高斯收到他的论文之后看到标题甚至没有看内容就直接扔进了废纸篓。因为关于五次方程的问题在当时被视为无法解决的难题，伽罗瓦那篇论文在高斯看来就像现代一个专科学生声称解决了哥德巴赫猜想一样不靠谱。这是数学界的又一大冤案，冤案制造者仍然有高斯。
因从小受父亲影响，有着极高的革命热情，伽罗瓦曾发誓“如果为了唤起人民，需要我死，我愿意牺牲自己的生命”。后来法国七月革命时，因为在校报上抨击政治两面派校长，最终被迫退学。
1831年7月，被反动王朝视为危险分子的伽罗瓦在国庆节示威时再次被抓，被关在圣佩拉吉监狱。在这里他庆祝了自己的20岁生日，并渡过了他生命中最后一年的大部分时间。
伽罗瓦在圣佩拉吉监狱中写成的研究报告中写道：“把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类，这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路。”
“把数学运算归类”这句话，道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，这句话指点出后世的群论和所有衍生理论。其后好几代数学家的工作，才最终实现了伽罗瓦的理想。正是他的著作，标志着旧数学史的结束和新数学史的开始。
1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个女人，有说是医师之女，也有说是一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。
或许是伽罗瓦在生活中受到巨大打击，论文三次被拒，挚爱的父亲自杀，未能考入综合工艺学院，年轻的充满激情的心又被心上人拒绝而碎裂，在如此巨大的压力下，决斗仅仅是他自杀的一种方式，两人隔着25公尺射击，伽罗瓦被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去”。
决斗的前一晚，他用了一整夜的时间在纸上写下他的研究成果。他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，却一劳永逸地给一个已经折磨了数学家们几个世纪的难题找到了真正的答案，这个谜就是在什么条件下方程是可解的，并且由此开创了数学的一片新的天地。
伽罗瓦对自己的成果充满自信，他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，这些对于消除所有数学界有关的混乱是有益的。”
伽罗瓦被埋葬在公墓的普通壕沟内，坟墓后世已无迹可寻。但他不朽的纪念碑就是他的著作，由他被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿所组成。全世界都应该感谢当晚的手稿被舍瓦利叶保留了下来，不然他的论文也将永远被高斯、柯西这样不负责任的所谓大师完全埋没或“遗失”。
历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他21岁时被杀死了，而他开始研究数学才仅仅只有五年(伽罗瓦1828年开始研究代数方程理论时，甚至还完全不了解阿贝尔已做的工作)。
伽罗瓦死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了十四年后，也就是1846年，才由法国数学家刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后将这些论文编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。1870年法国数学家约当根据伽罗瓦的思想，撰写了《论置换与代数方程》一书，他在这本书使里伽罗瓦的思想得到了进一步的阐述。
伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。
伽罗瓦“把数学运算归类”的群论思想，犹如一颗最耀眼的恒星，从此照亮了人类数学界的天空。
伽罗瓦非常彻底地把全部代数方程可解性问题，转化或归结为置换群及其子群结构分析的问题。这是伽罗瓦工作中的第一个“突破”，他犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的流星，开创了置换群论的研究，确立了代数方程的可解性理论，即后来称为的“伽罗瓦理论”，从而彻底解决了一般方程的根式解难题。
作为这个理论的推论，它系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解；它漂亮地证明高斯的论断：若用尺规作图能作出正p边形，p为质费马数（所以正十七边形可做图）；以及完美证明了古代三大作图问题中的两个：用圆规、直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能。
另外，怀尔斯在复证费马大定理的时候，亦使用到伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。
对伽罗瓦来说，他所提出并为之坚持的理论是一场对权威、对时代的挑战，他的“群”完全超越了当时数学界能理解的观念。也许正是由于年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思考，去描述他的数学世界，而也正因如此，他才受到了不公正的冷遇。
而伽罗瓦除了自己毫无意义的死亡之外，还因为其对数学的敏感，留下了一段用圆周率破案的千古传奇。
有一天，伽罗瓦得到了一个伤心的消息，他的一位老朋友鲁柏被人刺死了，家里的钱财被洗劫一空。而女看门人告诉伽罗瓦，警察在勘察现场的时候，看见鲁柏手里紧紧捏着半块没有吃完的苹果馅饼。女看门人认为，凶手一定就在这幢公寓里，因为出事前后，她一直在值班室，没有看见有人进出公寓。可是这座公寓共有四层楼，每层楼有15个房间，共居住着一百多人，这里面到底谁会是凶手呢？
伽罗瓦把女看门人提供的情况前前后后分析了一番：鲁柏手里捏着半块馅饼，是不是想表达什么意思呢?伽罗瓦忽然想到：馅饼，英文里的读音是“派”，而“派“正好和表示圆周率的读音相同。而鲁柏生前酷爱数学，伽罗瓦知道，他经常把圆周率的近似值取成3.14来做计算。“派”——3.14，鲁柏会不会是用这种方法来提示人——杀害他的凶手的房间号正是314呢？
为了证实自己的怀疑，伽罗瓦问女看门人：“314号房间住的是谁？”
“是米赛尔。”女看门人答道。
“这个人怎样？”伽罗瓦追问到。
“不怎样，又爱喝酒，又爱赌钱。”
“他现在还在房间吗？”伽罗瓦追问得更急切了。
“不在了，他昨天就搬走了。”
“搬走了？”伽罗瓦一呆，“不好，他跑了！”
“你怀疑是他干的吗？”女看门人问。
“嗯，如果我没有猜错的话，他一定就是杀害鲁柏的凶手！”
伽罗瓦向女看门人讲述了自己的推理过程，他们立刻把这些情况报告了警察要求缉捕米赛尔。米赛尔很快被捉拿归案，经过审讯，他果然招认了他因见财起意杀害鲁柏的全过程。就是这半块馅饼，让鲁柏在被害之际还提供了凶手的线索，并被伽罗瓦注意到，从而抓到了真凶。
了解到这些历史的传奇，言羽感受到了一种深深的孤独与悲哀，一种来自人类最高智慧的孤独与悲哀。但是，历史的曲折并不能埋没真理的光辉，由伽罗瓦开始的群论，不仅对近代数学的各个方向，而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。
罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。
而言羽等先灵派科学家后来结合了中国古代先灵的数理知识，在阿贝尔和伽罗瓦的群论基础上，将伽罗瓦理论拓展运用到了星际旅行的空间变换之中，实现了超高效的能源传送和时空矩阵战略布局。
比如希腊的古生物科学家伊莲娜就利用等角共轭点（isogonaljugatepoints）可计算原理，在星际异星战役中，利用音波和地震，使星球共轭破裂及极限主应力产生可预期的连续变化，从而大规模地短期极速杀伤或长期持续破坏外星生物种群生态环境，在星际战役中发挥了重要作用（共轭在空间物质能量转换中有特殊作用，比如地震断裂共轭角变化范围趋势是随着与驱动边界距离的增大而减小,并具有波状起伏的特征，在板块边缘驱动力的挤压作用下,岩石圈下层塑性流动网络的共轭角随着变形的增大而由初始的直角变为钝角，变化函数由数学群论可推算）。
先灵派科学家更发现，通过计算机群论方程式计算，可以如《易经》暗含的太极万有统一理论一般，推演小至微粒大到星球的宇宙万物的数理变化，推算并改变原子、分子、晶体和星系等万物的物理体系结构和运动轨迹，甚至可使共轭分子和非共轭分子相互转化，改变物质的光子吸收特性和非平面分子内共轭电荷转移化合物的发光行为，实现并优化三维及多维光信息存储（共轭分子含有一个共轭体系，表现出特有的性能。非共轭分子中的每个双键各自独立地表现它们的化学性能，一般可以用双键的性质来推断它们的性能。共轭分子中的两个双键形成一个新体系，它们的物理化学性质与非共轭烯烃不同。它们在吸收光谱、折射率、键长和氢化热等方面都不同）。
先灵派科学家由此也找到了打开人脑记忆的众妙之门，找到了传统人脑生物电和智能芯片计算机矩阵的融合交流方法，找到了人类梦境与现实之间意念显化、能量和物质相互转化的方法，并且找到了传统可见光背后隐藏的暗物质秘密，找到了在浩瀚宇宙和平行世界中穿越的不二法门，由此不仅可以预测未来，还能直接或间接影响平行世界的过去和未来。